数学趣味001

可以先看看这个视频: RSA_Encryption_Algorithm

公开密钥

Perwork:
私钥:Sender和Receiver预先约定加密和解密方案,向其他人保密。
这个实现比较难:向其他人保密。假如你是个商家,很多人要和你联络,发送者可能和你一点关系也没有,怎么保密。
需求:Sender素不相识,发送消息需求保密,加密方案必须公开。【就和信箱一样,所有人都可以向你公开的的信箱里投信件,但是只有你才有钥匙(私有的)取信件】
公钥:加密方案向所有人公开,解密方案只有Receiver知道,对其他所有人(包括Sender),Sender和除Receiver外所有人都是平等的,【Sender把信件放入Receive信箱了,Sender就不能再看到信件内容啦】

这就要求加密很容易,但是解密很难的算法!从跳板里跳入水里容易,想跳回去就不是那么容易啦。

先用一下示例讲下流程:


  1. 定义一个信息集合

    Zset={0,1,2,3,...90}.

这个就是相当于26个英文字母,只要知道这26个字母,你就可以拼出任何想要的信息,只是我们把26个扩展为了91个。

  1. Sender 要发送的信息为

    %%现实生活中: Msg = ”晚上一起吃饭”; %%等价为信息集合里是:只要Reciver得到的内容最终为{1,2,3,4,5,6}就可以知道是现实的“晚上一起吃饭” Msg ={1,2,3,4,5,6};

这里的Msg就是一个明文。

  1. Sender 把信息编码为明文后,还要进行加密!

把明文的每一个元素都映射为另一个唯一的值(密文:可以公开的值)

 

%%明文
Msg = {1,2,3,4,5,6};
%%使用加密:C = A^5(mod 91)
%%A^5 -->
NewMsg = {1,32,243,1024,3125,7776}
%%mod 91  对91取余得到密文
NewMsg = {1,32,61,23,32,41};

简单来说:加密过程为:

%%  明文             公式:5次方后对91取余         密文
     A -------------> A

5

 mod 91 -------------->C

最后的保证:A和C绝对是一对一映射关系。

Question1: 那么这个密文怎么保证不被破解呢?

我们试下从这公开的加密公式和密文反推之

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可以看出,通过穷举,我们还是可以得到结果的,但这个计算次数也是指数增长的,且计算开根号得整数操作很要耗时,

一个算法最后逼得人只能用穷举来解密,那么就是成功啦,

思考:如果公式里面不是5次方,而是三位数,四位数的次方,那计算量就更大。

3 . sender把这密文发给Receiver 加密工作完成

  1. 解密:Receive知道信息比Sender多的就是这个91是怎么来的,这个是关键。

4.1 91 = 7*13 (实现应用中,会设定为2个非常大的素数相乘,让Sender看不出是哪2个素数来,我们为了演示简单,假定Sender不会得到91=7*13这个结果,只有Receiver知道)

这个算法就是利用了这一点:2个素数乘积的结果很容易,但是想反过来把结果反推为哪2个素数相乘很难。所有公开密钥都是正着做容易,反过来就是很难

4.2 根据费马小定理:和辗转相除法可以得到:

5d = 1+(13-1)*(7-1)*k

从以上可以“容易穷举出一个”k=2时 :5*29 = 1+(13-1)*(7-1)*2

4.3 接着我们对密文C再乘29次方后对91取余就可以直接得到明文啦

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你只要知道那个29,就可以得到破解啦!!!!!

是不是很神奇!!!!!!当然我们还是有很多迷惑的,比如:

为什么选5,91,这些数字有什么要求?接下来,我们先理一下上面的步骤:

 

步骤 示例
取2个大质数:p,q p=7,q=13
密钥:n=p*q,h 是一个与(p-1)(q-1)互质的数, 公开n 和 h ,p,q不公开 n =91,h = 5(与72互质)
加密(公开)C = Ah (mod n) A = 明文,h=5,n=91,C= 密文
解密(保密)hd = 1+(p-1)(q-1)k---->A = C d mod 91 5d = 1+72*k, 当k=2时,d=29成立
解密完成 密文乘方29 再对91取模 得到明文

 

原理证明 :

  1. 取2个很大的不相等的质数p,q ;

  2. m = p*q

3. 根据欧拉函数:比m小的质数个数r = φ(N) = φ(p)*φ(q) = (p-1)*手机网投,(q-1)

  1. 选取一个与R互质的数e

5. 根据欧几里德(辗转相除)定理:2个互质的数一定满足:e*x – r*y =1;

  1. 上式等价为: e*d – r*k = 1;

7.密文c ,明文a , 加密 a e = c (mod m);

  1. 解密: c d = a (mod m),这个结论是 我们要证明的,

  2. cd = ae*d = a 1+r*k =a*a r*k

所以只要证明: a*a r*k = a(mod m) ---->a r*k = 1 (mod m)

10 .根据费马小定理:

手机网投 3:

a r*k = (a k)r = 1 (mod m).


数学真有意思…….

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